用三次样条进行非圆齿轮节曲线设计的研究硅胶辊
2022-07-07 17:16:12 福跃五金网
用三次样条进行非圆齿轮节曲线设计的研究*
用三次样条进行非圆齿轮节曲线设计的研究* 2011： 1 引言 非圆齿轮传动可以用来实现许多变速比传动机构,满足某些特定应用场合的需求,解决了其它机构难以实现的某些特殊运动。但由于非圆齿轮的节曲线不是圆,所以在设计和制造中存在着许多与圆齿轮不同的特殊问题。其中啮合理论及加工方法中的不少理论及实际问题,在近几年来已随着CAD及数控技术的发展得到了很好的解决。然而对于非圆齿轮节曲线的形状还未能寻找出一种有效的控制方法。并非任何形状的曲线都能用作非圆齿轮节曲线,实用的非圆齿轮节曲线形状要受到许多限制,比如要满足啮合压力角范围及根切限制条件的要求等,因而仅用几种常规的标准解析型函数来调整非圆齿轮节曲线的形状,具有很大的局限性。使用离散点拟合来设计非圆齿轮节曲线将是解决其形状控制的最有效的途径。本文针对非圆齿轮节曲线构成的特点,选取极坐标中极角变量作为参数,来构造非圆齿轮的三次样条节曲线,较好地解决了由拟合曲线的型值点来控制节曲线形状的问题。2 用三次样条曲线取代已知节曲线上的某段 假设已知原非圆齿轮节曲线是一条由标准解析型函数表示的曲线,其极坐标方程为:P＝P（θ）,这里:0≤θ≤2π，P0、P1是节曲线上的两点,它们对应的极角分别是θ0及θ1,且θ0＜θ1,如图1所示。现在构造一条曲线经过P0及P1两点,取代P0及P1之间的线段,并与节曲线的其它部分光滑连接起来。图1 以极角θ作为参数的三次样条曲线图 若采用矢量表示,则P0及P1点矢量分别为: P0＝P（θ0），P1＝P（θ1） 在P0点,曲线P（θ）的单位切线矢量e0为: 在P1点,曲线P（θ）的单位切线矢量e1为: 由于只需所求曲线与原曲线在P0及P1点光滑连接,即要求有相同的切线方向,所以分别给待求曲线在P0及P1这两点的切线指定两个非负权系数ω0及ω1,这个待求曲线在P0点处的切线矢量为ω0e0,在P1点处的切线矢量为ω1e1。实用中,与某个非圆齿轮固联的坐标系原点就是其回转中心,为了便于对啮合副节曲线进行设计,选取极角变量θ作为待求曲线的参数,其取值范围在θ0至θ1之间,设待求的三次曲线为: （1）式中:θ∈［θ1，θ1］,而Ci（i＝0，1，2，3）为待求的常向量。 式(1)有下面四个端点条件可利用: r（θ0）＝P（θ0）， r（θ1）＝P（θ1） r′（θ0）＝ω0e0， r′（θ1）＝ω1e1 显然,这是Hermite型曲线的问题。将端点条件代入式(1),并求解方程组可得各待定常向量,再代入式(1)并整理可得: r(θ)＝F0(θ)P (θ0)＋F1(θ)P (θ1)＋G0(θ)ω0e0＋G1(θ)ω1e1 （2）式中:F0（θ）、F1（θ）、G0（θ）、G1（θ）——三次样条中的调和函数。为: 从式(2)可以看出,调整权系数ω0、ω1的值可改变曲线的形状。如果要求待求曲线与原曲线弧长相等,则有: （3） 由式(3)可得权系数ω0及ω1的关系,若再指定ω0或ω1二者之一,则待求曲线便被唯一确定下来。3 由若干离散点拟合成闭合节曲线 设要求的非圆齿轮节曲线r（θ）通过n＋1个离散的型值点P0（x0，y0）、P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…Pn（xn，yn）,为了具有实际意义,与齿轮固联的坐标系原点0应位于由点P0至Pn所构成的多边形内部。只要这个多边形是凸多边形,就能保证节曲线的形状呈凸形。 为了利用极角作参变量,把离散点Pi 的直角坐标（xi，yi）转换成对应的极坐标（ri，θi）。为保证曲线能首尾相接,形成光滑闭合的曲线,在曲线末尾增加一个端点Pn＋1,使其与P0点重合,Pn＋1点对应的极径与P0点极径相等,而Pn＋1点对应的极角θn＋1等于θ0＋2π,从而可形成一闭合周期的节曲线。用P1－Pn作为端点P0及Pn＋1处的切线矢量,这样,对于θi－1至θi区段的三次节曲线方程为: r（θ）＝Fi0（θ